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模糊聚类分析.ppt
文档介绍:
第 3 章应用 第一节、模糊聚类分析
定理:集合X 上的任一个等价关系R可以确定X 的一个分类. 即
(1) 任意 x?X,[x]R非空;
(2) 任意 x , y?X,若x与y 没有关系R,则
[x]R∩[y]R = ?;
(3) X = ∪[x]R .
证: (1)由于R具有自反性,所以x∈[x]R,即[x]R非空.
(2) 假设[x]R∩[y]R ??, 取z∈[x]R∩[y]R,则z与x有关系R,与y也有关系R. 由于R具有对称性,所以x与z有关系R,z与y也有关系R. 又由于R具有传递性,x与y也有关系R. 这与题设矛盾.
(3) 略.
一、模糊等价矩阵
模糊等价关系
若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系,且满足:
(1)自反性:R(x, x) =1;
(2)对称性:R(x, y) =R(y, x);
(3)传递性:R2?R,
则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.
当论域X = {x1, x2, …, xn}为有限时, X 上的一个模糊等价关系R就是模糊等价矩阵, 即R满足:
I ≤R (? rii =1 )
RT=R(? rij= rji)
R2≤R.
R2≤R (?∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} ≤ rij) .
模糊等价矩阵的基本定理
定理1 若R具有自反性(I≤R)和传递性(R2≤R), 则 R2 = R.
定理2 若R是模糊等价矩阵,则对任意?∈[0, 1],R?是等价的Boole矩阵.
证明如下:
(1)自反性:I≤R???∈[0,1],I?≤R?
???∈[0,1],I ≤R?,即R?具有自反性;
(2)对称性:RT = R ?(RT)?= R?
?(R?)T = R?,即R?具有对称性;
(3)传递性:R2≤R?(R?)2≤R?,即R?具有传递性.
定理3 若R是模糊等价矩阵,则对任意的0≤?<?≤1, R?所决定的分类中的每一个类是R?决定的分类中的某个类的子类.
证明:对于论域 X = {x1, x2, …, xn},若 xi , xj 按R?分在一类,则有
rij(?) = 1 ? rij≥?? rij≥?? rij(?) =1,
即若 xi , xj 按R?也分在一类.
所以,R?所决定的分类中的每一个类是R?决定的分类中的某个类的子类.
模糊相似关系
若模糊关系 R 是 X 上各元素之间的模糊关系,且满足:
(1) 自反性:R( x , x ) = 1;
(2) 对称性:R( x , y ) = R( y , x ) ;
则称模糊关系 R 是 X 上的一个模糊相似关系.
当论域X = {x1, x2, …, xn}为有限时,X 上的一个模糊相似关系 R 就是模糊相似矩阵,即R满足:
(1) 自反性:I ≤R (? rii =1 );
(2) 对称性:RT = R (? rij = rji ).
模糊相似矩阵的性质
定理1 若R 是模糊相似矩阵,则对任意的自然数 k,Rk 也是模糊相似矩阵.
定理2 若R 是n阶模糊相似矩阵,则存在一个最小自然数 k (k≤n ),对于一切大于k 的自然数 l,恒有Rl = Rk,即Rk 是模糊等价矩阵(R2k = Rk ). 此时称Rk为R的传递闭包,记作 t ( R ) = Rk .
上述定理表明,任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵.
平方法求传递闭包 t (R):
R?R2?R4?R8?R16?…
二、模糊聚类分析
数据标准化
设论域X = {x1, x2, …, xn}为被分类对象,每个对象又由m个指标表示其形状:
xi = { xi1, xi2, …, xim}, i = 1, 2, …, n
于是,得到原始数据矩阵为
1、平移?标准差变换
其中
平移?极差变换
2、模糊相似矩阵建立方法
相似系数法----夹角余弦法 内容来自淘豆网时时彩平台 www.roa7e.cn转载请标明出处.
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